確率モデルのファクトとワークシートの操作

このレッスンでは、 確率モデル イベントの確率を見つけるためにそれを使用します。さらに、モデルからの確率を観測された頻度と比較し、整理されたリスト、表、樹形図を使用して複合イベントの確率を見つけます。

確率モデルの操作の詳細については、以下のファクトファイルを参照してください。または、28ページの確率モデルの操作ワークシートパックをダウンロードして、教室や家庭環境で利用することもできます。

エンジェルナンバー158

重要な事実と情報

確率モデルの紹介

確率の正式な定義は、サンプル空間Sから始まります。これは、未知の実験または状況のすべての可能な結果をリストする任意のセットです。
S = {雨、雪、晴れ}
上記の例は、明日の予測に使用される可能性があります天気 ;または、来週の株価を予測する場合、おそらくSはすべての正の実数のセットです。
Sは、無限集合であっても、すべての集合にすることができます。通常、Sの要素に対してsを記述します。つまり、s∈
Sには、関心のある要素のみが含まれることに注意してください。
確率モデルは、サンプル空間Sと呼ばれる空でない集合で構成されます。 Sのサブセットであるイベントのコレクション。そして、確率測度Pは、P（∅）= 0およびP（S）= 1で、各イベントに0から1の間の確率を割り当てます。
天気の例では、サブセット{rain}、{snow}、{rain、snow}、{rain、clear}、{rain、snow、clear}、さらには空のセット∅= {}もすべてサブセットの例です。イベントである可能性のあるSの。
これらのサブセットで使用されるコンマは「または」を表します。したがって、{rain、snow}は、雨や雪が降る現象です。一般に、Sのすべてのサブセットがイベントであると想定します。
確率モデルには確率測度Pが必要です。確率測度は、各イベントAに、次のプロパティを持つ確率P（A）を割り当てる必要があります。
P（A）は常に、0から1までの非負実数です。
P（∅）= 0、Aが空集合∅の場合、P（A）= 0
P（S）= 1であるため、Aがサンプル空間S全体である場合、P（A）= 1
Pは（数え切れないほど）加法です。つまり、A1、A2、…がばらばらのイベントの有限シーケンスである場合、次のようになります。
P（A1∪A2∪…）= P（A1）+ P（A2）+…
S = {rain、snow、clear}の場合、雨の確率は40％、雪は15％、晴れた日は45％です。
これは、P（{rain}）= 0.40、P（{snow}）= 0.15、およびP =（{clear}）= 0.45と書くことができます。
明らかに、翌日の天気では何も起こらないことは不可能なので、P（∅）= 0です。また、P（{rain、snow、clear}）= 1です。これは、明日発生しなければならない雨、雪、または晴天のいずれかが正確に発生するためです。
さて、明日は雨や雪が降る確率はどれくらいですか？加法性を使用すると、次のように言うことができます。
P（{rain、snow}）= P（{rain}）+ P（{snow}）= 0.40 + 0.15 = 0.55
したがって、明日は55％の確率で雨または雪が降ります。
公正なコインを裏返すと仮定します。これは、同じ確率で表側（H）または裏側（T）のいずれかを思い付く可能性があります。
S = {H、T}、P（H）= P（T）= 0.5
確認するには、P（H）+ P（T）= 1
3つの公正なコインを続けて裏返し、結果として生じる頭と尾のシーケンスを追跡するとします。
S = {HHH、HHT、HTH、HTT、THH、THT、TTH、TTT}
8つの結果のそれぞれが等しく可能性があります。したがって、P（HHH）=⅛、P（TTT）=⅛というようになります。また、最初のコインが表で2番目のコインが尾であるが、3番目のコインは2つのうちのいずれかである確率は、イベントHTHとHTTの確率の合計に等しく、P（HTH）+ P（HTT）=⅛+⅛=¼。

複合イベントの確率

イベントの結果が1つしかない場合、それは単純な（または単一の）イベントと呼ばれます。それ以外の場合、イベントは複合イベントと呼ばれます。
樹形図は、特定のイベントの考えられる結果を順番に示す「線分」を含む図面です。
コインのトスについては、樹形図を見てください。
あなたはサッカーに出かけ、ゴールキーパーになるのが大好きですが、それは今日のコーチが誰であるかによって異なります。（1）サムコーチの場合、ゴールキーパーになる確率は0.5です。（2）アレックス監督の場合、ゴールキーパーになる確率は0.3です。
コーチサムは通常、10試合ごとに約6試合（確率0.6）で利用できます。それで、あなたが今日ゴールキーパーになる確率はどれくらいですか？
サムまたはアレックスの2人の可能なコーチを示します。サムを取得する確率は0.6であるため、アレックスを取得する確率は0.4である必要があります。全体として、確率は1です。
さて、サムを取得した場合、ゴールキーパーになる確率は0.5です（ゴールキーパーにならない確率は0.5です）。
アレックスを取得した場合、ゴールキーパーになる可能性は0.3です（ゴールキーパーにならない可能性は0.7です）。
樹形図が完成したので、全体的な可能性を解決しましょう。これは、ツリーの「枝」に沿って各確率を乗算することによって行われます。
右側は、「Sam、Yes」ブランチの計算方法です。
アレックスがコーチである場合、次の結果が得られます。
アレックスがコーチとして0.4のチャンスがあり、その後に0.3のチャンスが続くと、0.12の可能性があります。次に、列を追加します。
3 + 0.12 = 0.42（42％の確率）今日のゴールキーパーになる確率。
整理されたリスト方法を使用して、発生する可能性のあるさまざまな結果をすべてリストします。 1つまたは2つのオプションを忘れる可能性が高いため、これは難しい場合があります。
コインを投げてサイコロを振った場合、尾と偶数が出る確率はどれくらいですか？
まず、私たちが得ることができるすべての可能な結果をリストすることから始める必要があります。 H1は、頭をひっくり返して1を転がすことを意味することに注意してください。
S = {H1、H2、H3、H4、H5、H6、T1、T2、T3、T4。 T5、T6}
12の可能な結果があり、これらの結果のうち3つは、望ましい結果（テールと偶数）を提供します。これらはT2、T4、およびT6です。
したがって、確率は次のようになります。P= 3/12 = 1/4 = 25％
コインを3回投げた場合、少なくとも2つの頭を投げる確率はどれくらいですか？
現在、3つの異なるイベントを処理しています。各フリップは個別のイベントとしてカウントされます。
フリップ1H H H H T T T T
フリップ2H H T T H H T T
フリップ3H T H T H T H T
8つの異なる結果があります。これらは好ましいものです：HHT、HTH、THH、およびHHH（少なくとも2つの頭は3つを弾くことを含みます）。したがって、確率は次のようになります。P= 4/8 = 50％
エリアモデルは、単純な確率を表すために使用できます。全体の数字は、考えられる結果の総数を表しています。影付きの部分は、望ましい結果を表しています。
コインを投げてサイコロを振った場合、尾と偶数が出る確率はどれくらいですか？
まず、1つのイベントの結果が上部に表示され、2番目のイベントの結果が側面に表示されるテーブルを作成します。表のセルに、各イベントに対応する結果を入力します。与えられた確率に合うセルをシェーディングします。
12個のセルがあり、そのうち3個は影付きです。したがって、確率は次のようになります。P= 3/12 = 1/4 = 25％

確率モデルワークシートの操作

これは、28の詳細なページにわたる確率モデルの操作について知っておく必要のあるすべてが含まれている素晴らしいバンドルです。これらはすぐに使用できる確率モデルの操作ワークシートは、確率モデルを開発し、それを使用してイベントの確率を見つける方法を生徒に教えるのに最適です。さらに、モデルからの確率を観測された頻度と比較し、整理されたリスト、表、樹形図を使用して複合イベントの確率を見つけます。